polya计数定理和玩扑克的故事(Polya enumeration theorem)

话说小敏的妈妈去充话费,之后送了一盒扑克。嗯,这年头充话费送啥的都有,据说隔壁家老王的孩子梅梅就是充话费送的。

不过现在正是星期天早上,慵懒的阳光透过窗户,舒舒服服地照在身子上,还有什么好担忧的呢?天塌下来还有高个子顶着,来玩扑克吧。

妈妈把邀来了小敏和爸爸,又把隔壁的梅梅叫来,之后又搬来一张八仙桌,八桌仙上的四仙,准备开始打扑克了。

不,先别着急,扑克虽然是从英国传来的,可到了中国之后,还是得入乡随俗。据爸爸观察,扑克牌的输赢,是和所坐位置的风水有关的。《泰坦尼克号》里的杰克就是坐到了风水好的位置上才赢得了船票。

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当然了,光追随古人也不行,还得古为今用。假如有人在打扑克时上网查攻略怎么办?为了防止这种情况发生,爸爸决定在房间中装个信号屏蔽器,那么无论你是坐在长椅上,还是靠在沙发上,还是上半身瘫在沙发上,脚搭凳子上,出一副“我瘫了”的姿势,都是接收不到信号的。因此所有房间里的人群都可被叫做“没有信号的人群”。

但鉴于爸爸的风水学知识并不可靠,所以他的策略时常改变。例如本来是这样随便坐的,

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但他在早上看到一本《高效能人士打扑克的七个方法》,上面说:“正对阳光能看着照亮牌桌,从而更好地把控整体局势”,于是就要求自己站在席子上,而身高不高的小敏坐在窗户下的长椅上,以便自己充分吸收阳光。但是,当中午看到《五年打扑克三年打酱油》中看到“背对阳光能防止阳光干扰眼睛,从而打出更好的牌。”又要求自己坐到小敏的位置,而技术不错的妈妈则站在席子上。妈妈吐槽爸爸是“暗箱操作”,爸爸却道:“置换的事,怎么能叫暗箱操作呢?”

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爸爸庆幸,幸好自己是早上看到《7个方法》而中午看到《五年打扑克》的,要是换个顺序,即早上看到《五年打扑克》而中午看到《7个方法》,那么大家最后坐的位置就大不一样,从而影响到牌局的结果。

不过无论怎样换,梅梅都是一直坐在沙发上的。“远来都是客”,虽然这也并不远——毕竟只是隔壁。不过既然已经是客人,总要是受到热情招待,爸爸自豪的说这是“客人不受暗箱操作理论”,或为了显示自己对风水的研究,就叫做“客人不动置换”。

可爸爸也注意到,书上所说的,都是四人单独作战的情况,若是2V2的“王八对门”或是“3V1的四人斗地主”,又该怎样做,风水才能对自己最有利?

爸爸想到自己以前看到一本书叫《烧掉一边》(burnside),上面说的是四个老同学要组织聚会,有的人要饮料,有的人不要,本来都是和酒店商定好座位的,但酒店负责人把记录搞丢了,既不知道哪些人要饮料,又不知道要饮料的人坐在哪个座位,只好先把所有饮料可能排列情况都列出来。

尽管所有情况都列了出来,但还是不知道他们具体怎么坐的。不过没关系,酒店的桌子可以旋转,如果把每次旋转之后,座位上有无饮料情况不变的都统计起来,然后除去换座位的影响,就得到了所有可能的情况。

(这儿等待补图片)

不过鉴于排来排去太麻烦了,所以这边书最后给出的简便方法是,把所有和饮料的人扔到火堆里统统烧掉。

嗯,这和下面这个分苹果的方法有异曲同工之妙。

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不过,活学活用嘛,回到打扑克,爸爸暂时还是想不出怎么座位对己方有利,只好让大家每打一会儿就按顺时针换座位,至少能保证对大家都公平。但是假如有人在换座位前在自己座位上留下什么暗号,那么互相看到暗号的人便能暗中联手。为了防止这种情况的发生,爸爸又列出一张表详细看看各种情况:

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爸爸还知道,事件“复杂度”随着队伍数量呈指数级增长。这和熵增类似,这么科学的原理,妈妈居然还不信——特别是爸爸尝试用它来解释“房间变得越来越乱的原因是因为熵增”时。

最后,把这些团队的“复杂度”相加,然后除去换位置的次数,就得到了团队相对位置所有可能组成情况。(不考虑风水影响,即假设每个位子的风水相同)。

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嗯,经过无数次推演后,爸爸总算把位置都安排好了,那么接下来最大的问题是:

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