【思考瞎想录】珍珠翡翠白玉汤、burnside引理和polya定理

嗯,我看到我的朋友拍各种美食照发朋友圈,我羡慕嫉妒恨,也要自己拍个美食照。

我买食材,洗锅子,蒸炸煮煎,终于弄出一锅烧糊的米饭和一锅我自己都不知道叫什么的绿油油的东西。我听说明代开国皇帝把后者叫珍珠翡翠白玉汤,好,那我就是煮出了一锅黑米饭和一锅珍珠翡翠白玉汤。我准备把它们摆到餐桌上去。

我家里有个圆形餐桌,刚好。不过餐桌应该准备几个椅子呢?我想到西游记是四个人,大学寝室大部分是四个人,就连柯南出来玩,也会遇到四个新角色——然后莫名其妙死掉了一个。

于是我觉得,放四把椅子,相应地放四碗饭菜。为了让拍照图片看起来尽量不同,好让朋友觉得我做了很多食物,我决定在不改变椅子位置的情况下,更改菜的摆放位置。

那么问题来了,用我的黑米饭和珍珠翡翠白玉汤,不能混合它们,任意舀出四碗,放在相应四把椅子的位置,能摆出多少不同的样式?

我开始默默计算,一七得七,二七十四,三八妇女节,五一劳动节….最后我终于计算出有2的4次方种摆法。

我刚摆好一种准备拍照,但我转念一想,不行,朋友们拍照片,我必须拍视频好显得高端一点。我必须让我的美食顺次一道道经过镜头,让美味勾住朋友的魂魄。家里没有旋转餐桌,于是我决定手动旋转,自己绕着餐桌拍。只要不照到地板和墙壁,看起来就好像是菜的样式在旋转。

为了再显得高端一点,我就把一个样式旋转成另一个样式,叫做“置换”。对于四样菜的圆餐桌,一共有四种置换,一个是不动,一个是顺时针旋转90度,一个是顺时针旋转180度,最后一个是顺时针旋转270度。

我自我感觉良好地拍着,突然发现,某些样式经过某种置换后,居然就和其它某种样式一模一样了!

天理难容!那些样式真是太辣鸡了,长了颗榆木脑袋!我把他们烧的那样熟,甚至都烧糊了,它们难道还没成熟一点,学会分解我的担忧吗?那些样式还是在那儿一动不动像一颗木头。

我把那些样式叫做“不会动的**木头”,简称“不动点”,当然,是必须在某种旋转后不动,不,是在某种置换后不动,然后这个不动的样式为某种置换的不动点。所有这样的置换加起来就叫这个不动点的“稳定核”

嗯,朋友圈的文案我也想好了,也别叫什么样式经过旋转后仍然是原来的样式,干脆就叫“不动点经过自己稳定核中的某种置换后与原来等价”吧,非常高端霸气,发到朋友圈,朋友肯定惊呼”百年难遇的数学天才“”现代庞加莱!“….

我陶醉在自己的美梦中。不过我又很快清醒过来,既然某些样式旋转后与其他样式一样,我就不能拍那么多视频了,否则朋友会认为我一个视频发了两次。

那么问题又来了,要保证旋转之后样式仍然能不一样,有几种这样本质上不同的样式呢?停,我又从数学书上翻到一个名词,应该问,有几种这样的等价类呢?

我正束手无策,突然看到墙上写了一句话:对于某种旋转f,记经过f 后不动的样式数目为c(f ),那么那么可以证明本质上不同的样式数目等于所有c(f )的平均值。

出鬼了,墙上那句话什么时候来的,居然还写得这么清楚,我揉了揉自己眼睛,掐了自己几下大腿,给自己狠狠来了几耳光,又用鞋带把自己绊倒在地下,我终于感到自己不是在做梦,原来墙上写的是:

对于一个置换f ,将f 的不动点数目记为C(f ),则可以证明等价类数目为所有C(f )的平均值。  ——burnside引理

对于自己那四碗黑米饭和珍珠翡翠白玉汤来说,经过四种不同的旋转后仍然不变的样式分别为:

然后根据那什么引理,用上自己还没忘记的小学加减法,终于算出,一共有六种诶。自己随随便便弄两个饭菜,摆成四碗,居然能拍六个视频,真是赚大发了。

但我又一想,这太麻烦了啊!等我以后对于厨艺的造诣不断精进,我的美食受到大众的喜爱,我决定做一次满汉全席,邀请全国人民共襄盛宴时,拍视频前,我还得掰手指头一个个算算旋转多少度会有多少样式与原来一样,那不还得算疯?

不过我惊奇地发现,如果我把餐桌旋转180度,那么1号位置和3号位置的饭菜得是一样的,2号位置和4号位置的饭菜得是一样,而1号位置什么饭菜,对于2号4号则没什么影响。

1号位置和3号位置在旋转180度时还要同享一样的饭菜,算得上是战友了,我决定拍视频时好好表扬一下它们。当然文案得改成“1号位置和3号位置处于旋转180度时的同一个循环里”。至于循环是什么意思,我决定让朋友们自己去猜。当然,旋转180度包含了(1,3),(2,4)两个循环。

我突然想起了,昨天polya曾托梦告诉我,假如我一共做出了m种饭菜,而某种旋转里有k的循环,那么这种旋转的不动点个数C(f )不正好就是m的k次方吗?

我又想起了我的黑米饭和珍珠翡翠白玉汤。

嗯,此法甚好,算的很快,凭借自己初中学的乘方完全能顶得住。以后我就可以没有顾虑的到处旅游,为淳朴的当地人民做一顿丰盛的饭菜,向全村男女老少分享我的美食了。

我又陶醉在自己的幻想之中,想犒劳一下自己。就着自己的珍珠翡翠白玉汤吃了一碗的黑米饭。

几天后,我在重症监护室写下来了这篇文章。

2 thoughts on “【思考瞎想录】珍珠翡翠白玉汤、burnside引理和polya定理”

Leave a Reply