因式分解成最简形式后,真的就不能再分了吗?

有时候我们会碰到一些因式分解的题目,比如要求把x^4-4分解因式成最简形式,也就是不能再继续分下去。我们一般会分解成为

    \[ x^4-4 = (x^2-2)(x^2+2) \]

如果古希腊的毕达哥拉斯学派认识你,他们只承认有理数,所以一定觉得你是对的,这样就不能再分下去了。 不过,后来有个叫毕达哥拉斯学派有个叫Hippasus的家伙,他发现无理数的存在。然而其他人并不相信,所以就把Hippasus丢海里去了。如果Hippasus有幸见证无理数的发展的话,那么他一定会再分解成为

    \[ x^4-4 = (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})(x^2 + 2) \]

但到了后来,欧拉时代已经发现,除了无理数和有理数构成的实数集合外,似乎还有一些特殊数字啊,干脆叫它虚数算了,欧拉顺便把虚数i也定义出来了。于是,这样你又可以继续分解为

    \[ x^4-4 = (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})(x - \sqrt{2}i)(x + \sqrt{2}i) \]

所以说,你必须先确定是要在有理数范围内有意义呢?还是要在实数、复数或其它什么上有意义呢?然后所谓不能再分才有确切的含义。

不过,wait a minute,为啥有的多项式,例如刚才提到的,在实数范围内,最多只能分到二次因式就不可再分了?其它的会不会分到三次或者四次也不可再分了?

诶,好问题,这个问题用数学一点的语言来表述就是

实系数多项式因式分解定理(以下称定理1):每个次数大于等于1的多项式,在实数范围内可以唯一地分解成一次因式和二次不可约因式的乘积。

怎么证明呢?是时候祭出数学归纳法了。

第一步,显然,一次多项式可以这样。

第二步:先假设定理对次数小于n的多项式已经证明了。

第三步:假设f(x)是n次多项式,由代数基本定理,f(x)有一复数根a。也就是说a肯定存在,不是虚数就是实数。

等等,代数基本定理是啥,作者不会又想拿显然来糊弄我吧?嗯,这玩意证明太复杂,如果写下来怕伤到你们这些功力不够的人。你想啊,很多大侠,小时候很多招式没机会练,就先把武功书背下么,等长大后,招式记得滚瓜烂熟,再练起来当然是又快又好了。代数基本定理就是这样的武功,它首先的证明者高斯用了四种方法证明这个,也懒得跟你们闲聊,顺便高斯模糊一下好让你们认不出他。

扯回来,我假设a是实数,那么

    \[ f(x) = (x - a)f_1(x) \]

其中f_1(x)是n-1次多项式。 我说什么来着?定理1没错吧? 啥?a不是实数咋办?a不是实数,那\overline{a}就是实数,并且 \overline{a}不等于a,于是

    \[ f(x) = (x - a)(x - \overline{a})f_2(x) \]

所以下式:

    \[ (x - a)(x - \overline{a}) = x^2 - (a + \overline{a})x + a\overline{a} \]

在实数范围内就只能约到二次了。嗯,定理1得证。

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