特征值和特征向量的意义——我短暂的赛车生涯

是这样的。我今天心血来潮,想要去参加赛车比赛。但我资金又不够,于是贪便宜买了一辆N手车,就像下图这样:

我买来时还洋洋得意,说今年第一名肯定非我莫属了。但之后练习的时候,才发现这车开起来比走路都还慢。于是我的心情一下跌入了谷底,只好出去散散心。

在路边一个没人注意的地方,我发现了一个奇怪的东西。我把它捡起来,上面居然还贴了张纸。我一看:

奥,原来是个专门给车辆加速用的装置啊,我一看背面,还有一张示意图

于是我的斗志又重新燃烧了起来。这款加速装置虽然怪怪的,但有总比没有好啊。我立马把这个加速装置捡起来,又安装到我的车子上,嗯,再开着改装好的车出去转转吧。

不得不说,我这辆车回头率还是挺高的,不过不是因为它的造型,而是我发现加了加速装置后,这辆车根本不受我控制,速度忽高忽低也就算了,最难受的是没法控制方向,打方向盘根本没用,到处乱跑,于是,在这辆车的带领下,我差点和火车碰瓷去了。

不过怎么能这样就轻易放弃呢?好不容易捡到一个加速装置,不能再让它浪费了。我仔细研究了一下:

也就是说,我把初始速度设置为某些方向时,这个加速装置还能让我继续按照原来的方向行驶,否则,就能把方向完全改变,变得亲妈都不认识。嗯。

于是,接下来,我的目标,就是找出这些能让加速装置的矩阵能正常加速,而又不改变方向的特殊向量。我从书架上取下了《线性代输及其应用(David C.Lay著)》看了一下,发现这玩意就叫特征向量

8错8错。但加速的效果怎么表示呢?难道我左手拿方向盘边开车,右手拿把大尺子量地面?这辈子都是不可能的。我又翻了一下,奥,原来加速效果就是新速度对于原速度的比例,叫做特征值。例如我把初始速度设置为v时(见上图),特征值就是2,就是达到了原来速度的两倍。

再看看书上的定义:

A为n*n矩阵,x 为非零向量。若存在数λ 使 Ax = λx 有非平凡解 x ,则称λ为A的特征值,x 称对应于λ的特征向量。

也就是,x 就是我要找的那钟让车辆速度方向不变而只有大小改变的初始速度。而λ就是加速的效果。例如当我把初始速度设置为v时(见上图),我的加速装置的效果,和一些单纯只是把速度两个方向的大小都提升到两倍的效果是一样。

不过我转眼一想,赛场上那么多弯,这个鬼畜的加速装置实在能把人逼疯,既然它这么善于转圈,那么干脆就拿我的车去表演杂技吧。如果它能坚持不散架的话。

不过我目前这个加速装置太快了,得改装一下。于是我找到楼下小蓝。小蓝是个喜欢捣乱的机械师妹子,她很善于改装各种玩意,例如吧电饭煲改装成马桶,把马桶改装成电饭煲之类的….

一天后,小蓝改装好了,把加速装置交给我的同时附给我一张便条:

为了算出在装了新加速装置后,车辆每秒的的速度,我拿出纸笔立马开始演算起来。很快得出了结果。

嗯,小蓝给我的建议初始速度还不错。一开始能到处旋转,当时间足够大后,速度差不多就固定了。我心满意足,期望着配了特殊加速装置的这辆车能在杂技舞台上好好发挥。如果问我结果的话,嗯,你们猜。

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最后吐槽一下,也许是我眼瞎,我找到的国内教材上均只是给出了特征向量和特征值的求法,至于意义一个词没提,最多也就是说为了化简。化简成什么呢?看完还是一脸懵逼。不过找到一本好的翻译教材,对于特征值和特征向量,甚至是高等代数部分内容说得都很详细,各大图书馆也应该经常能见到。嗯。《线性代数及其应用(David C.lay著,华章数学译丛,机械工业出版社)》

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