今天老猫老师教我们的是“对称多项式”。
老师展示了一把用胡椒配上一些我不认识的魔法粉末做成的胡椒剑,以及一把用长椒加上另一些我不认识的魔法粉末做成的长椒剑。胡椒剑的魔力值为,长椒剑的魔力值为
。如果我左手拿胡椒剑,右手拿长椒剑,那么总魔力是
。这就是一个多项式。
老师解释说,如果我们再使用特殊的药剂把胡椒剑和长椒剑的魔力值互换,如果双手仍然拿着,也就是总魔力值计算公式仍然为,的话,无论
和
是多少,对总魔力值没有影响。就称
为对称多项式。你想嘛,胡椒剑和长椒剑是对称的嘛。
但是,如果我们新加了一把肉桂剑,其魔力值为,左右手各持一把胡椒剑和一把肉桂剑,那么魔力总值计算公式就是
了。这个时候,如果互换胡椒剑和肉桂剑的魔力值,那么总魔力值就变了。这时候这个多项式
就不是对称的了。
老师说,刚才那些魔剑魔力值都很低,也很安全,所以可以让我们拿着自己体验一番。以后将要学的有一种迷迭香剑,它的初始魔力值为,综合魔力值为(1)式:
其中这类参数是这把剑上所装饰宝物的“附魔力值”,这些“附魔力值”将帮助这把剑提升魔力。但这造成一个很危险的地方:这把剑的魔力值多项式有可能可以分解成为(2)式:
如果这把剑的初始魔力值与任何一个装饰宝物的“附魔力值”相等的话,例如,那么这把剑的综合魔力值将变成0。如果我们配置这把剑时不注意到这点的话,在战场上非常危险。
把式子(2)展开,发现要乘上
次
,
也要乘上
次
,依次类推加起来就是(3)式
。然后再看看式子(1),里面有个项为,上面的式子是一样的,再把这个
抵消,最后得
依次类推,那么宝物间的“附魔力值”,即根与系数的关系式如下
这就是对称多项式的一些基础知识。老师说,当年猫头鹰学院的前辈在拓荒时,发现了一些埋在地下很久但仍光彩如新的剑谱。这些剑谱的博大精深让很多人叹服。老猫老师虽然没有亲历发觉现场,不知道那些剑谱被发现时大家的震惊表情,但后来到猫头鹰魔法学院的博物馆去看时,仍然有一些剑谱被放在了剑谱博物馆里面供大家学习。嗯,下次有时间的时候我也得去看看。我还从来没去过剑谱博物馆呢。
43号剑谱上记载着也是一个对称多项式。即的差积的平方。
例如对于一把藏红花剑,它的综合魔力值为
那么它的差积的平方就是
又例如对于一把肉豆蔻剑,它的综合魔力值为
那么它的差积的平方就是
那么这种差积的平方有什么用呢?老师解释说,之前提到的迷迭香剑,如果它的初始魔力值与所装宝物的附魔力值相等话,会造成这把剑的魔力消失。而我们有时候没时间去考虑初始魔力值到底等不等于附魔力值,不如直接考虑某种剑的综合魔力值有没有可能为0,也就是说函数图像有没有零点。这就是差积平方的用处。
我们把刚才得到的根与系数的表达式左边换成。那么久变成了
对于藏红花剑,它的综合魔力值的差积的平方就是
展开:
变形:
由我们前面提到的根与系数关系,在这里就是
即
\sigma_1^2 – 4\sigma_2
这就是藏红花剑综合魔力值的判别式,也是一元二次函数判别式的来历(后者我们假设a等于1了)。
嗯,老猫老师下课后把胡椒剑和长椒剑送给我们玩了。但比起这些,我还是更想去剑谱博物馆看看那些从没见过的剑谱。虽然之前我也没见过多少。