【猫头鹰魔法学院】对称多项式——你知道一元二次函数判别式b^2 – 4ac的来历吗？

今天老猫老师教我们的是“对称多项式”。

老师展示了一把用胡椒配上一些我不认识的魔法粉末做成的胡椒剑，以及一把用长椒加上另一些我不认识的魔法粉末做成的长椒剑。胡椒剑的魔力值为 $x_1^2$ ，长椒剑的魔力值为 $x_2^2$ 。如果我左手拿胡椒剑，右手拿长椒剑，那么总魔力是 $x_1^2 + x_2^2$ 。这就是一个多项式。

老师解释说，如果我们再使用特殊的药剂把胡椒剑和长椒剑的魔力值互换，如果双手仍然拿着，也就是总魔力值计算公式仍然为 $x_1^2 + x_2^2$ ，的话，无论 $x_1^2$ 和 $x_2^2$ 是多少，对总魔力值没有影响。就称 $x_1^2 + x_2^2$ 为对称多项式。你想嘛，胡椒剑和长椒剑是对称的嘛。

但是，如果我们新加了一把肉桂剑，其魔力值为 $2x_3^2$ ，左右手各持一把胡椒剑和一把肉桂剑，那么魔力总值计算公式就是 $x_1^2 + 2x_2^2$ 了。这个时候，如果互换胡椒剑和肉桂剑的魔力值，那么总魔力值就变了。这时候这个多项式 $x_1^2 + 2x_2^2$ 就不是对称的了。

老师说，刚才那些魔剑魔力值都很低，也很安全，所以可以让我们拿着自己体验一番。以后将要学的有一种迷迭香剑，它的初始魔力值为 $x$ ，综合魔力值为（1）式:

$f(x) = x^n + b_1x^{n-1} + ... + b_n$

其中 $a_1$ 这类参数是这把剑上所装饰宝物的“附魔力值”，这些“附魔力值”将帮助这把剑提升魔力。但这造成一个很危险的地方：这把剑的魔力值多项式有可能可以分解成为（2）式：

$f(x) = (x-a_1)(x-a_2)...(x-a_n)$

如果这把剑的初始魔力值与任何一个装饰宝物的“附魔力值”相等的话，例如 $x = a_1$ ，那么这把剑的综合魔力值将变成0。如果我们配置这把剑时不注意到这点的话，在战场上非常危险。

把式子（2）展开，发现 $-a_1$ 要乘上 $n-1$ 次 $x$ ， $-a_2$ 也要乘上 $n-1$ 次 $x$ ，依次类推加起来就是（3）式

$(-a_1)x^{n-1} + (-a_n)x^{n-1} + ... + (-a_n)x^{n-1}$

。然后再看看式子（1），里面有个项为 $a_1x^{n-1}$ ，上面的式子是一样的，再把这个 $x^{n-1}$ 抵消，最后得

$-b_1 = a_1 + a_2 + ... + a_n$

依次类推，那么宝物间的“附魔力值”，即根与系数的关系式如下

$-b_1 = a_1 + a_2 + ... + a_n$

$b_2 = a_1a_2 + a_1a_3 + a_2a_3 + ... + a_{n-1}a_n$

$...$

$(-1)^ib_i = \sum_a_k_1a_k_2...a_k_n$

$...$

$(-1)^nb_n = a_1a_2...a_n$

这就是对称多项式的一些基础知识。老师说，当年猫头鹰学院的前辈在拓荒时，发现了一些埋在地下很久但仍光彩如新的剑谱。这些剑谱的博大精深让很多人叹服。老猫老师虽然没有亲历发觉现场，不知道那些剑谱被发现时大家的震惊表情，但后来到猫头鹰魔法学院的博物馆去看时，仍然有一些剑谱被放在了剑谱博物馆里面供大家学习。嗯，下次有时间的时候我也得去看看。我还从来没去过剑谱博物馆呢。

43号剑谱上记载着也是一个对称多项式。即 $x_1,x_2,...x_n$ 的差积的平方。