【猫头鹰魔法学院】对称多项式——你知道一元二次函数判别式b^2 – 4ac的来历吗?

今天老猫老师教我们的是“对称多项式”。

老师展示了一把用胡椒配上一些我不认识的魔法粉末做成的胡椒剑,以及一把用长椒加上另一些我不认识的魔法粉末做成的长椒剑。胡椒剑的魔力值为x_1^2,长椒剑的魔力值为x_2^2。如果我左手拿胡椒剑,右手拿长椒剑,那么总魔力是x_1^2 + x_2^2。这就是一个多项式

老师解释说,如果我们再使用特殊的药剂把胡椒剑和长椒剑的魔力值互换,如果双手仍然拿着,也就是总魔力值计算公式仍然为x_1^2 + x_2^2,的话,无论x_1^2x_2^2是多少,对总魔力值没有影响。就称x_1^2 + x_2^2对称多项式。你想嘛,胡椒剑和长椒剑是对称的嘛。

但是,如果我们新加了一把肉桂剑,其魔力值为2x_3^2,左右手各持一把胡椒剑和一把肉桂剑,那么魔力总值计算公式就是x_1^2 + 2x_2^2了。这个时候,如果互换胡椒剑和肉桂剑的魔力值,那么总魔力值就变了。这时候这个多项式x_1^2 + 2x_2^2就不是对称的了。

老师说,刚才那些魔剑魔力值都很低,也很安全,所以可以让我们拿着自己体验一番。以后将要学的有一种迷迭香剑,它的初始魔力值为x,综合魔力值为(1)式:

    \[ f(x) = x^n + b_1x^{n-1} + ... + b_n                                \]

其中a_1这类参数是这把剑上所装饰宝物的“附魔力值”,这些“附魔力值”将帮助这把剑提升魔力。但这造成一个很危险的地方:这把剑的魔力值多项式有可能可以分解成为(2)式:

    \[ f(x) = (x-a_1)(x-a_2)...(x-a_n)                                     \]

如果这把剑的初始魔力值与任何一个装饰宝物的“附魔力值”相等的话,例如x = a_1,那么这把剑的综合魔力值将变成0。如果我们配置这把剑时不注意到这点的话,在战场上非常危险。

把式子(2)展开,发现-a_1要乘上n-1x-a_2也要乘上n-1x,依次类推加起来就是(3)式

    \[ (-a_1)x^{n-1} + (-a_n)x^{n-1} + ... + (-a_n)x^{n-1} \]

。然后再看看式子(1),里面有个项为a_1x^{n-1},上面的式子是一样的,再把这个x^{n-1}抵消,最后得

    \[ -b_1 = a_1 + a_2 + ... + a_n \]

依次类推,那么宝物间的“附魔力值”,即根与系数的关系式如下

    \[ -b_1 = a_1 + a_2 + ... + a_n \]

    \[ b_2 = a_1a_2 + a_1a_3 + a_2a_3 + ... + a_{n-1}a_n \]

    \[ ... \]

    \[ (-1)^ib_i = \sum_a_k_1a_k_2...a_k_n \]

    \[ ... \]

    \[ (-1)^nb_n = a_1a_2...a_n \]

这就是对称多项式的一些基础知识。老师说,当年猫头鹰学院的前辈在拓荒时,发现了一些埋在地下很久但仍光彩如新的剑谱。这些剑谱的博大精深让很多人叹服。老猫老师虽然没有亲历发觉现场,不知道那些剑谱被发现时大家的震惊表情,但后来到猫头鹰魔法学院的博物馆去看时,仍然有一些剑谱被放在了剑谱博物馆里面供大家学习。嗯,下次有时间的时候我也得去看看。我还从来没去过剑谱博物馆呢。

43号剑谱上记载着也是一个对称多项式。即x_1,x_2,...x_n的差积的平方。

    \[ D = \prod_{i<j}(x_i - x_j}^2 \]

例如对于一把藏红花剑,它的综合魔力值为

    \[ x^2 + a_1x + a_2 \]

那么它的差积的平方就是

    \[ (x_1 - x_2)^2 \]

又例如对于一把肉豆蔻剑,它的综合魔力值为

    \[ x^3 + a_1x^2 + a_2x + a_3 \]

那么它的差积的平方就是

    \[ (x_1 - x_2)^2(x_1 - x_3)^2(x_2 - x_3)^2 \]

那么这种差积的平方有什么用呢?老师解释说,之前提到的迷迭香剑,如果它的初始魔力值与所装宝物的附魔力值相等话,会造成这把剑的魔力消失。而我们有时候没时间去考虑初始魔力值到底等不等于附魔力值,不如直接考虑某种剑的综合魔力值有没有可能为0,也就是说函数图像有没有零点。这就是差积平方的用处。

我们把刚才得到的根与系数的表达式左边换成\sigma_1,\sigma_2...\sigma_n。那么久变成了

    \[ \sigma_1 = a_1 + a_2 + ... + a_n \]

    \[ \sigma_2 = a_1a_2 + a_1a_3 + a_2a_3 + ... + a_{n-1}a_n \]

    \[ ... \]

    \[ (-1)^i\sigma_i = \sum_a_k_1a_k_2...a_k_n \]

    \[ ... \]

    \[ (-1)^n\sigma_n = a_1a_2...a_n \]

对于藏红花剑,它的综合魔力值的差积的平方就是

    \[ (x_1 - x_2)^2 \]

展开:

    \[ {x_1}^2 +2x_1x_2 +{x_2}^2 \]

变形:

    \[ (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 \]

由我们前面提到的根与系数关系,在这里就是

    \[ \sigma_1 = x_1 + x_2  ,  \sigma_2 = x_1x_2 \]


\sigma_1^2 – 4\sigma_2
这就是藏红花剑综合魔力值的判别式,也是一元二次函数判别式b^2 - 4ac的来历(后者我们假设a等于1了)。

嗯,老猫老师下课后把胡椒剑和长椒剑送给我们玩了。但比起这些,我还是更想去剑谱博物馆看看那些从没见过的剑谱。虽然之前我也没见过多少。

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