如果遇上对数学没有概念的外星人,该怎么从头开始教他们数学?

引言

最近在看《陶哲轩实分析》,看到这个挺好玩的,就简化,略去证明过程,记了下来。

假如很多年后某一天,你开着飞船降落到一个星球上,这个星球上的人非常友好,奈何对数学几乎没啥概念,所以也非常落后。现在你需要从头开始教他们数学,该怎么教呢?

第一阶段: Peano axioms——自然之数

Peano axioms,或称皮诺亚公理,是定义自然数的一种方法。

公理1.1:0是一个自然数。

外星人听了后大概会不理解,一个虚无的数字有什么意义?实际上,最早在公元前1770年,我们才发现古埃及人写出来一个用来表示“0”的符号。

公理1.2:如果n是一个自然数,那么n的增量n++也是自然数。

公理1.3:0不在任何自然数之后,也就是n++ 永远不等于 0。

我们教外星人的时候,还得注意告诉它们,4 也不等于0。不知道外星人能不能理解这些东西呢?

公理1.4:如果n++不等于m++,那么n也不等于m

这样做是为了防止外星人把3++ = 1这类算式写出来,否则自然数就循环起来了。之前那个公理也是这样的目的。

公理1.5:令P(n)表示自然数n的任意一个性质,如果p(0)为真且p(0)为真,那么p(n++)为真,且对于任意自然数n,p(n)一定为真。

公理5其实叫做公理模板,我们可以任意定义性质究竟是什么。有了这5大公理,我们就更加方便地殖民外星了。

第二阶段:加法与乘法

这个时候外星人还不知道加法交换律,结合律之类的东西,所以我们教的时候得小心谨慎。

定义2.1:如果m是自然数,那么定义m + 0 = m。

上面的定义并不严谨,但大意就是这样。有了加法,外星人就可以数数自己手指头有多少个….

命题2.2:加法交换律,即n + m = m + n。

于是某日小外星人回家,大外星人问:3 + 5等于多少啊?是7?是8?是9?

小外星人答曰:不知道,但我知道3 + 5 = 5 + 3。

大外星人纳闷:这不很显然吗?

小外星人答道: 老师说要先证明整数加群是Abel群 。

命题2.3:加法结合律,即(a + b) + c = a + (b +c)。

命题2.4:加法消去律,如果a + c = b + c,那么a = b。

之后乘法的定义与命题与加法差不多。

在我看来,定义加法和乘法是最神奇的,之前从未想过这还需要定义,而且必须有证明。

第三阶段:更多的东西….

之后的东西如果要详细写出来,要占大量篇幅,而且对地球人来说并不是那么有趣,所以省略,只是把这时候还比较重要的东西拎出来。

定义3.1:集合是一对元素无序的放在一起。

定义3.2:函数f是集合X到集合Y的一个映射。

定义……

有了这些东西,外星人就能大概了解了地球人的数学是怎么一回事,虽说要掌握还是挺难的,但外星人小孩很快就能体会到被数学支配的恐惧了哈哈哈

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