用面包计算多重积分

面包片与定积分

我很喜欢吃面包。但每次吃的时候,总会想着这个面包会不会太多了,吃多了就吃胖了,对不住自己的身体。但又怕吃少了,吃少了对不住自己的吃货心。于是我想着计算面包究竟有多大。

但我发现,例如想要计算头图的面包片的面积,但这玩意下边界,左边界和右边界是还能看成是直的,但上边界是弯曲的啊,如果把它当成一个长方形,直接底乘高算面积就算得不精确。

虽然当成一个长方形不准确,但如果把它切成细细的面包条,分别再把面包条当成长方形呢?于是我把面包片按宽度平均切,切成很多宽度很小的面包条。由于面包条很小,可以近似看成长方形。每次计算一个小面条的面积,再加起来,就近似得到了整个面包片的面积。

当每个面包条的的宽度无限小时,所有面包条加起来也就越来越近似于面包片的实际面积。于是我们就把这里的宽度叫做\Deltax,也就是微分。

也就是说,假如面包正好在[a,b]区间内,假设左右以及下边界都是直的,上边界弯曲形状正好符合y = f(x),即

定积分就是用来求连续函数在某一区间[a,b],与x = a,x = b以及x轴所围成的平面图形的面积。 那么面包片面积的计算公式就为下面这个定积分。

面包块与二重积分

不过一片面包片显然不能满足我。我要吃一块面包。

一块面包

诶,那么一块面包的体积怎么算呢?我正想下嘴,又想到了这个问题。面包的顶部换成函数的话,有两个变量,那就是说不能直接把刚才算面包片面积的方法直接拿来用了。

不过,我们可以把未知的问题化为已知的问题嘛。

刚才那样,把面包片切成无限窄的面包条,算出每个近似长方形的面包条的面积,再相加起来就得总面积。

那么我们也可以吧面包块切成无限薄的面包片,分别算出每个面包片的面积,再加起来就行了嘛。

不过到底应该怎么算呢?我们来看看同济小绿书上的解释吧!你们发现没有,配图其实是个面包!

密度不均匀的面包块与三重积分

我还没开始吃,又想到一个问题。前些天听说有人买了一斤藕,结果有半斤是洞。我也想看看我的面包究竟有多重。面包里面有很多孔洞,说明面包密度不均匀啊,而我刚才的计算忽略了却密度不均这个事情。

由于有了密度这个东西的干扰,我们还得再多加一重积分。

这可以理解为,把三维的体积压成一条一维的线,即x轴,那么密度函数就是这条线上方的弯曲的函数。这时候又回到了一次积分那里,即求某个区间上密度函数与x轴围成图形的距离。

结语

理论准备得相当充分了,是时候看看我的面包究竟有多大了!——不过鉴于刚才我没忍住把它给吃掉了,所以…..多谢大家阅读此文!

1 thought on “用面包计算多重积分”

  1. 看到这个就想起来好多人就记得这个粗略的曲边梯形的求和,有一年考了积分和式的定义,求lim(n→infinite) sigma(n,n,i=1,j=1) n/(n+i)(n^2+j) ,结果惨死一大片。

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