只用一把直尺一把圆规,能作出怎样的图形?

简介:

在van der Waerden的《古代文明中的几何与代数》有这样一个故事,大意是:爱琴海的居民渴望上帝阿波罗神将他们从灾难中解救出来,上帝告诉他们,原先立方体的祭坛太小了,要重新建造一个新祭坛,长宽高比例不变,但体积是原来的两倍。

爱琴海的居民能获得解救吗?也就是说,假设我们已经知道了一个单位为多长,我们能作出\sqrt[3]{2}个单位的长度吗?

更广泛一点,靠有限的工具,例如一把直尺和圆规,我们能做一些什么事?能三等分任意角吗?能画出一个正n边形吗?能化圆为方吗?…

直尺和圆规定义:

如果问题太过简单就没意思了。如果用量角器很快就能画出各种角度的角。因此我们在这不严格地规定,直尺没有刻度,是能画出一条线段的工具。圆规是能画出一个以o为圆心,r 为半径的圆的工具。对于两点 AB 来说,我们定义 |AB | 为它们的距离。

先画出一个坐标系:

在纸上找两点AB,这两点所确定的直线就是x-轴。用圆规以 A为圆心,|AB |为半径画一个圆,然后以B为圆心,|AB |为半径画一个圆 。两个圆相交于CD两点, 这两点所确定的直线就是y-轴。线段 AB 和线段CD相交于O点,这点就是坐标系的原点。然后我们定义|OA|的长度1,O的坐标为(0,0)。

能画出哪些长度?

|OA|的长度已经定义为1,所以我们最开始能画出长度为1的线段。

加法与乘法

如果我们能画出长度为 a 的线段和长为b的线段, 很自然,把它们拼接在一起就得到了长度为a+b的线段。

如果我们能画出长度为 a 的线段和长为b的线段, 怎么画出长度ab的线段呢?

A = (1,0),B = (1+a,0),C = (0,b),作DB平行于CA且于y-轴交于点D。

ΔOAC和 ΔOBD是相似三角形,所以

|OB|/|OA| = |OD|/|OC|

(a + 1)/1 = (b + |CD|)/b,所以|CD| = ab,所以我们能作出长为ab的的线段。

根号

由于|OA| 长度为1,|AC| = |AB| = 2,那么|OC| = \sqrt{3},所以C的坐标(0, \sqrt{3}),那么我们就能画出长为 \sqrt{3} 的线段。

既然能画出长度为 \sqrt{3} 的线段,那么如果让a是任意一个非负数,我们能不能画出长度 \sqrt{a}的线段呢?

当然可以啦。我们设A = (1,0),P = (1+a,0)。作OP中点Q,以|OQ|为半径画一个上半圆,然后作AR垂直于OPAR与圆交于R

ΔAOR和 ΔARP是相似三角形,所以

|OA|/|AR| = |AR| /|AP|,即|AR| = \sqrt{a}

倒数

另外,只要a不等于0,我们也能画出它的倒数的长度a^{-1}的线段。

A = (1,0),S = (0,a),T = (0,1+a)。作TB平行于SA并于直线OA相交于点B。

ΔOSA和 ΔATB是相似三角形,所以

|OT|/|OS| = |OB| /|OA|,即|AB| = a^{-1}

这些长度有什么规律呢?

我们之前已经说过,如果a是任意一个非负数,我们就能画出长度 \sqrt{a}的线段。同理, \sqrt{a} 也是非负数,所以我们也能画出长度为 \sqrt{ \sqrt{a}}的线段。如此循环下去,我们只要能画出长为a的线段,a为非负数,并且由于我们能画出长度为其倒数的线段,所以我们就能画出所有长度数字形如

,以及让其相加相乘的线段。我们把所有这样的数的集合叫做K

我们还能画出长度为其它形式的线段吗?不可以。接下来,我们要证明所有能画出的长度的数值,都属于集合K

我们首先要证明,如果a,b,c属于K,那么二次多项式ax^2 + bx + c的根也属于K。由于求根公式为

由于b^2 - 4ac属于集合K,所以它的二分之一次方也属于集合K,所以此二次多项式的根也属于K

我们最开始作出的长度1属于集合K。 假设m_1,m_2,q_1,q_2,u_1,u_2,v_1,v_2,r_1,r_2属于集合K,那么我们可以作出方程形如

    \[ x = q_1 \]

    \[ y = m_1x + q_1 \]

    \[ y = m_2x + q_2 \]

    \[ (x - u_1)^2 + (y - v_1)^2 = r_1^2 \]

    \[ (x - u_2)^2 + (y - v_2)^2 = r_2^2 \]

的直线或圆。

而我们所能找出的长度,一定要是根据某点去确定的。而点的位置,一定是根据下面三种情况中的一种确定的:

直线与直线的交点

若其中一条直线垂直,则它的方程是x = q_1,与另一条直线y = m_2x + q_2的交点的y-轴坐标为m_2q_1 + q_2,也就是说长度为 m_2q_1 + q_2 我们就能作出来。但由于 m_2,q_1 , q_2都属于集合K ,所以 m_2q_1 + q_2 也属于集合K

如果两条直线都不垂直,那直接解方程

    \[ y = m_1x + q_1 \]

    \[ y = m_2x + q_2 \]

所以,解出来的x,y也属于集合k

直线与圆的交点

若其中一条直线垂直,则它的方程是x = q_1,与圆(x - u_1)^2 + (y - v_1)^2 = r_1^2的交点为(x_0,y_0),其中y_0为二次多项式的根,根据前面的论断,y_0也属于K。 若直线不垂直,其方程为y = m_1x + q_1,代入圆的方程为(x_0-u_1)^2+(m_1x_0+q_1)^2 = r_1^2,同样x_0为二次多项式的根,所以x_0也属于K

圆与圆的交点

两个圆的方程分别为 (x - u_1)^2 + (y - v_1)^2 = r_1^2(x - u_2)^2 + (y - v_2)^2 = r_2^2,展开

    \[ x_0^2 + y_0^2 + a_1x_0 + b_1y_0 + c_1 =  x_0^2 + y_0^2 + a_2x_0 + b_2y_0 + c_2  \]

消去二次项后得一条直线(a_1 - a_2)x_0 + (b_1 - b_2)y_0 = 0,这样又变成了直线与圆的交点。余下的与之前的解法同理。

由此我们证明了,如果构造直线或圆时的参数属于集合K,那么它们之间的交点的横纵坐标也属于集合K。除此之外我们没用别的办法来作出一个点,所以所有我们能作出的长度的数值都属于集合K

然后是一些有趣的作图定理

仅用直尺和圆规作出体积为原来两倍的立方体是不可能的

我们设原立方体的某边长为1,为了让体积变为两倍,我们必须让这边的边长变为\sqrt[3]{2},但根据之前的定理,\sqrt[3]{2}不属于集合K。所以爱琴海的居民就很尴尬了。

仅用直尺和圆规三等分60°角是不可能的

如果可能的话,那我们就能找到一个点,让它的坐标为(cos20°,sin20°)。所以我们也能作出一个长度为cos20°的线段。由三倍角公式cos3a = 4cos^3a - 3cosa,令a = 20°,那么cos3a = \frac{1}{2},所以cos20°为4x^3 - 3x - \frac{1}{2}的一个根。不过这个根并不属于集合K,所以我们其实作不出cos20°,也就没办法三等分60°角了。

改变直尺的定义可以三等分任意角

改变直尺的定义,让它可以标记UV两点,且点U允许在一个圆上滑动。

先证明可以任意三等分一个锐角。对于一个角α = ∠AOE,令O为圆心,画出一个半径为1的圆。过点O和点E作一条直径并延长,交圆另一端为F。用直尺做一条平行于EF并通过A的弦,弦与圆的另一个交点为U,且延长弦AUV,并使|UV| = 1。

固定直尺的A点,旋转U点使U在圆上移动,并保持|UV| = 1,当直线AV与直线EF有交点时停下,重新把点U标记为B,把交点标记为C

ΔOAB和 ΔOBC 是等腰三角形,所以δ = ε, ε = γ + β = 2β 。

又α = δ + β,所以 α = 2β + β = 3 β。由此我们成功三等分了角 α 。

不能作出一个正方形使他等于单位圆的面积

这就是问能否用直尺和圆规来化圆为方。如果要作出这样的正方形,那么它的边长为\sqrt{\pi},但 \sqrt{\pi} 并不属于集合K,所以我们作不出来,没法化圆为方 。

能作出正几边形?

扯到伽瓦罗定理去了,留坑待填。

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